Mennyit érne számodra egy ilyen szórakoztató kockajáték?
A játék során a várható nyeremény kiszámítása érdekében célszerű a különböző eseteket az alapján csoportosítani, hogy hányadik körben éred el az első END dobását. A korábbi dobásoknál minden körben egy állandó átlagnyereménnyel kalkulálhatunk, ami megkönnyíti a számítást.
Az END valószínűsége egy dobásnál 1/6, a nyeremény növelésének a valószínűsége pedig 5/6, és a nyeremény átlagosan három dollárral nő, ha nincs vége a játéknak. A teljes nyeremény várható értékét úgy kapjuk, hogy az egyes esetekben elérhető teljes nyereményeket az esetek valószínűségeivel súlyozzuk, és ezeket összeadjuk. Jelen esetben az eseteket aszerint érdemes szétválasztani, hogy hányadik körben dobjuk az első END-et, azaz hány dobásból áll a játék.
A játék kimenetele és a vele járó nyeremények alakulása izgalmas matematikai jelenség, amely a valószínűségszámításon alapul. Az első körben annak a valószínűsége, hogy a játék véget ér, pontosan 1/6, és ebben az esetben a nyereményünk 0 dollár, hiszen még semmilyen előnyhöz nem jutottunk. A következő lépésben, ha a játék a második körben ér véget, a valószínűség (5/6) * (1/6), ami azt jelenti, hogy az első dobásunk nem hozott véget a játéknak, de a második már igen. Itt a nyeremény átlagosan 3 dollárra rúg, hiszen a játék során már volt egy körünk, amelynek során még nem kaptunk véget. Ha a játék viszont a harmadik körben zárul le, a valószínűség (5/6) * (5/6) * (1/6), és a nyeremény, amelyet ebben az esetben zsebre tehetünk, átlagosan 6 dollár. Ennek az az oka, hogy az előző két kör során nem ért véget a játék, így a nyeremények összeadódnak, és a harmadik körben elért 2 * 3 dollárra nő. Ezt a logikát követve, ha a játék a k. körben fejeződik be, akkor ahhoz először (k-1) körben nem kell dobni a véget jelentő END szimbólumot, majd a k. dobásnál ezt az eredményt el kell érnünk. Ez a folyamat nem csupán a végkimeneteleket, hanem a nyeremények mértékét is nagymértékben befolyásolja, hiszen minden egyes kör növeli a potenciális nyereményünket.
Összesítve tehát a teljes nyeremény várható értéke ebben a játékban az alábbi végtelen összeggel adható meg:
A kifejezés, amelyet bemutattál, egy sorozatot képvisel, ahol a tagok valamilyen mintázatot követnek. Az első tag 0, a második tag 0.25 (ami 1/4), a harmadik tag 0.5 (ami 3/6), a negyedik tag 0.75 (ami 9/12), és így tovább. A sorozat a következőképpen folytatódik, ahol a tagok a valószínűségi eloszlás alapján épülnek fel. Az első tag a 0-ás értéket adja, míg a továbbiak a 3, 6, 9, stb. szorzataként jelennek meg, mindezt a (5/6) hatványával szorozva. Ez a struktúra érzékelteti, hogy a sorozat egyre inkább a 0-hoz közelít, de a valószínűségi faktorok miatt a későbbi tagok értéke emelkedik. A sorozat tehát egy folyamatosan csökkenő valószínűségi súllyal rendelkező számok összegzését jelenti, ami egy érdekes matematikai jelenséget mutat be a valószínűségi eloszlás és a sorozatok kapcsolatában.
Mivel minden elem tartalmazza az (1/6)-ot, és a hármas szám is kiemelhető, ezért egyszerűsítve a következőképpen fogalmazhatunk:
A legfontosabb rész a végtelen összeg, ahol a tagok egy mértani és egy számtani sorozat elemeinek szorzataként jelennek meg. Ezt a különleges sorozatot számtani-mértani sornak hívjuk, amelyhez létezik egy zárt összegképlet. Most nevezzük el a 1/2 melletti végtelen összeget S-nek. Ha most képezzük az S - (5/6)·S sort, úgy, hogy a (5/6)·S minden egyes tagját megszorozzuk (5/6)-dal, majd a kivonás során az (5/6) hatványait egymásból vonjuk ki, így a sorokat egy lépéssel eltolva, a maradék egy mértani sorozatot fog alkotni, amelynek végtelen összegét jól ismerjük. Ha mindezt alaposan végigszámoljuk, akkor S értéke 30-ra jön ki, ami azt jelenti, hogy ennek a játéknak a várható nyereménye 15 dollár.
